换个交度解题

崔永浩

吉林省梅河口市朝鲜族中学

   培养学生思维的广阔性，是数学教学的主要目标之一。有些数学问题，如果直接从正面探求，往往绞尽脑汁而一筹莫展，或虽有思路而实施起来较为繁琐，这时，如果改变一下思考的角度，常常能够间接地打开解题通道，使问题获解。

  例1判断 是 的什么条件？

： 1， ： 1。

  分析 在判断一个命题的真假时，如果难以直接判断，可利用逆否命题的等价性作出判断。

解 命题：“若 1，则 1”的逆否命题“若 ，则 ”为假命题。

即 ≠﹥ 。

命题“若 1，则 1”的逆否命题“若 ，则 ”为真命题。即 。

∴ 是 的必要而不充分条件。

  例2求函数 的值域。

  分析 由于反函数的定义域为原函数的值域，所以求函数的定义域即可。

  解 由 ，得 ，

，∴ ，

∴函数 的反函数为 ，且反函数的定义域为 。

∴原函数的值域为 。

例3若不等式 对一切 均成立，求实数 的取值范围。

分析 这道一元二次不等式，若从正面思考难度较大，我们不妨换个交度看成以 为主元的常数函数或一元一次函数，求出 的范围更简单。

解 把原不等式变形为 。

设 ，在一切 均成立。

∴ ，即 ，解得 或 。

例4已知a、b、x、y R且满足 ， ，求 的最大值。

解1 用三角代换法求解。

设 ， ， ， 。

则 = = 。

即 的最大值是3。

解2 用向量数量积求解。

设向量 ， ， 与 的夹角为 。

∵ ， ，∴ ， 。

∵ ，

又 ，

∴ 。即 的最大值是3。

例5已知关于 的不等式 的解集为 ，求实数 与 的值。

分析 不等式的左边和右边分别看作函数，画出函数的图象，利用数形结合法求解。

解 令函数 ，函数 ，并如图1分别画出函数的图象。

代入函数 得 。

∵点（4，2）在函数 上，∴ ，∴ 。

由函数 ，联立得： 。

故 ， 。

图1

例6在棱长为 的正方体 中，求 到截面 的距离。

分析 用等积法间接求出 到截面 的距离。

解 连接 ，设 到截面 的距离为 ，如图2。

则 ，

，

而 ，

∴ 。解得 。                           图2

例7已知下列三个方程： ， ，

至少有一个方程有实数根，求实数 的取值范围。

  分析 用反证法的思想，求出三个方程都没有实根的 的取值范围。

  解 假设三个方程都没有实根，

则有

即 。∴ 。

∴满足至少有一个方程有实根的实数 的取值范围是 。

   同学们在学习过程中，不仅要学习知识和技能，更要学会思考问题，善于从不同角度多方面观察、分析问题能力。因此，教师在平时教学中，引导学生、启发学生、鼓励学生多观察、勤思考，培养他们多角度思考问题、灵活解答问题的习惯。